Série d'articles : Modélisation non linéaire

Dans le cadre d’études de systèmes complexes, obtenir une prédiction du comportement la plus précise possible requière la prise en compte de nombreux paramètres. Ceux-ci nécessitent alors une analyse poussée en amont de l’étude éléments finis afin d’identifier les informations nécessaires à la mise en œuvre du modèle. Ces informations portent principalement sur les matériaux et contacts utilisés, leur nature et leurs caractéristiques :

–  Hyper-élasticité (rigidité évolutive en fonction de la déformation appliquée)
– Visco-élasticité (évolution de la rigidité en fonction de la vitesse de sollicitation),
– Elasto-plasticité (au-delà d’une contrainte limite, la déformation devient non réversible),
– Dépendance thermique (la rigidité matériau diminue lorsque la température du corps augmente),
– Frottement (la résistance au glissement est proportionnelle à l’effort d’appui entre les pièces),
– …

Dans cette série d’articles, seuls les matériaux homogènes et isotropes seront considérés. Les composites ou anisotropes ne seront pas considérés.

Il est alors important de se focaliser sur les paramètres les plus influents afin de mieux définir le besoin et les limites à prendre en compte.

La connaissance du comportement mécanique du matériau fait intervenir des campagnes d’essais, dont la nature doit correspondre au comportement à caractériser :

– Essai uniaxial pour une courbe de comportement en traction 
– Essai biaxial pour une courbe de comportement prenant en compte le cisaillement
– Essais répétés pour un comportement en fatigue ou de rémanence
– Essais de frottement
– …

Ces essais permettront de définir par exemple la courbe de comportement du matériau. Certains comportements sont bien intégrés par les ingénieurs calcul, notamment l’élasto-plasticité, l’hyper-élasticité.

Concernant la visco-élasticité, une campagne d’essais réalisés à des vitesses de sollicitations progressives sont mis en œuvre. Ils permettent d’identifier la dépendance en vitesse du matériau. Cette particularité est principalement utilisée pour caractériser les matériaux plastiques. Ces mêmes matériaux présentent également une forte dépendance à la température. Afin de représenter cette diversité de variation de comportement, des lois de comportements théoriques peuvent alors être utilisées, notamment la loi de Johnson Cook :

Les essais réalisés permettront de définir les différents paramètres identifiés par cette loi et d’obtenir une large caractérisation du comportement du matériau.

Concernant l’hyper élasticité, les courbes d’essais contraintes déformations sont directement exploitables afin d’être implémentées dans les logiciels éléments finis.

En revanche, la caractéristique de rémanence du matériau, qui concerne principalement les élastomères, est peu utilisée et donc peu connue. Elle est cependant un paramètre important permettant de vérifier l’étanchéité des joints. Cette propriété correspond à la capacité du matériau à dissiper dans le temps les contraintes liées à la compression ou à la traction. Afin de la déterminer, des essais cycliques normalisés sont nécessaires. A l’issue de ceux-ci, les paramètres de caractérisation propres au logiciel de calcul utilisé sont extraits. Ce travail nécessite d’être réalisé en collaboration avec le laboratoire d’essais et l’éditeur de logiciel.

Lors de l’article précédent, nous avons vu que le type d’essais physique à conduire dépendait du type de comportement à caractériser (traction, compression, cisaillement). Pour un matériau présentant un comportement hyperélastique, les courbes d’essais sont directement intégrées dans les paramètres de la loi matériau. Cependant, la courbe de comportement n’est pas utilisée telle quelle, mais une approximation numérique est réalisée, à l’aide de lois incluses dans le logiciel de calcul : Yeoh, Ogden, Mooney-Rivlin…

Les lois d’approximation préconisées par Inoprod sont alors :

 – L’approximation polynomiale pour un comportement de traction
 – Mooney-Rivlin pour la compression
 – Ogden et Yeoh fonctionnent sur des comportements simples, mais attention à la partie compression.
En effet, l’approximation se base sur l’essai de traction pour définir l’ensemble du comportement (traction + compression).

Concernant la rémanence, les essais conduits en laboratoire spécialisé permettent de déterminer les paramètres propres à cette loi matériau et au logiciel à utiliser. Ceux-ci sont alors implémentés dans le modèle de calcul sous forme de paramètres attenant à la pièce, non comme caractéristiques matériaux.

A la suite des essais réalisés et de la création de la loi de comportement, un comparatif doit être réalisé afin de s’assurer de la corrélation des résultats de simulation aux résultats d’essais, sous des chargements et des conditions identiques.

Cette corrélation est réalisée tout d’abord sur une éprouvette simple puis, si ce premier niveau de corrélation est satisfaisant, sur des éprouvettes plus complexes.

Cette étape de mise en place de la loi matériau réalisée, la suite de la modélisation peut alors être conduite…

L’intégration de la géométrie se fait de la même façon que pour un modèle linéaire classique. Cependant, la création des contacts peut demander un découpage plus précis de façon à permettre un ajustement plus localisé des paramètres de contact :

– Formulation (Lagrangien, pénalité…)
– Détection
– Raideur de contact
– Frottement
– …

L’analyse du comportement d’un système assemblé requière d’intégrer dans la simulation l’ensemble du cycle de vie du produit, de l’assemblage aux conditions de fonctionnement. Ainsi, le déroulé de la simulation complète doit se rapprocher au maximum des phases de vie du système :

Les simulations non linéaires et d’autant plus lorsqu’elles font intervenir des matériaux aux propriétés hyper-élastiques par exemple, portent un risque de non-convergence élevé. En effet, tout calcul éléments finis doit respecter un principe physique :

– Pour les calculs de type implicite, le Principe Fondamental de la Statique est vérifié à chaque itération.
C’est-à-dire que la somme des efforts rentrant en jeu dans la simulation doit être nulle :

–  Pour les calculs explicites, c’est le Principe Fondamental de la dynamique qui s’applique, soit :

Dans cet article, on ne s’intéresse qu’aux simulations statiques.

A cette étape, des itérations portant sur les paramètres numériques du calcul entrent en jeu. Il est important de bien analyser les sorties du logiciel afin d’orienter les modifications à apporter. Celles-ci peuvent alors porter sur :

–  La taille des incréments de chargement si le calcul s’arrête lorsqu’un contact s’active/ se désactive
– Les raideurs de contact si des pénétrations apparaissent et gênent le comportement des pièces, ou si des éléments distordus apparaissent au niveau des zones de contact
– La formulation du contact, pour les mêmes raisons que précédemment
– La qualité de maillage

Pour ce qui est du maillage, un point important à intégrer est que, pour des matériaux élastomères notamment, de grandes déformations peuvent être appliquées à la pièce. Ainsi, ce qui apparaissait comme un maillage qualitatif au début de la simulation peut devenir distordu au cours de la compression ou de l’extension de la zone.

On préfèrera alors anticiper cette déformation de façon à obtenir un maillage de qualité, le plus réglé possible, au moment où la convergence du calcul n’est plus assurée.

L’étude du comportement du système requière d’analyser, pour chaque étape du calcul :
– Les déplacements
– Les contraintes (Von Mises le plus souvent)
– Les contacts, notamment pour l’analyse de l’étanchéité.

Si l’objectif de l’étude est de reproduire un comportement observé dans la réalité, l’apparition d’une fissuration par exemple, la simulation doit permettre d’identifier des contraintes élevées dans la zone incriminée :

La corrélation du comportement défaillant va alors permettre d’en identifier les causes (chargement trop important, géométrie agressive, phénomène de fatigue) et de proposer des solutions correctives.
Le couplage de cette analyse à la constitution d’un plan d’expériences va également permettre d’évaluer l’influence des variations des différents paramètres :

–    – Incertitude sur les grandeurs matériau
– Tolérances de fabrication
– Variation du coefficient de frottement
– …

Ce type d’étude va alors permettre de statuer sur la validation d’un design, après la vérification de la pertinence des solutions préconisées.

Dans le cadre d’éléments de type joints, l’analyse de l’étanchéité apportée par celui-ci doit également être analysée. Elle passe par une focalisation sur la zone de contact dans la zone incriminée, au travers des pressions de contact calculées. La pression moyenne sur la longueur de contact doit alors atteindre un niveau plus élevé que la pression de fonctionnement maximale appliquée.